Аз бях гордият автор на задачите за конкурса тази година.

Ако не сте млад физик или физичка вероятно не сте чували за него (Всъщност има и конкурс по математика). Но ако сте от моята каста то знаете за претенциите, че конкурсът е на същото високо ниво като националната олимпиада (обикновено тези претенции са напълно обосновани). И както националната олимпиада е пътят за участие в отбора за IPhO, така и конкурсът по физика на фондация Миню Балкански отваря вратите за обучение във френско висше училище (знаехте това… нали?). Но тук ще говоря за задачите които аз дадох и за работите които аз проверих. За детайли относно конкурса погледнете сайта на фондацията.

Задачите (които можете да свалите тук)

Аз съм авторът на първа задача. Втората е дело на Светослав Чакъров с доста промени от моя страна. И двете задачи бяха под редакторския контрол на Янко Тодоров.

Ще започна от втора задача – съвсем кратко защото не съм аз авторът. Смятам я за по-лесна от моята задача, но условието със сигурност е по-плашещо. За първия въпрос е достатъчно да се знае най-основния закон в термодинамиката и да се приложи сляпо. След това внимателно четене и базови познания по метод на размерностите е достатъчен, за да се реши. Задачата намеква за интересни “философски” въпроси, но те са много далече извън обсега на знанията очаквани от състезателите.

А фактът, че от 12 състезателя двама са я решили изцяло, а останалите почти не са я погледнали, смятам че е доказателство че е “по-лесна от моята задача, но условито със сигурност е по-плашещо”.

Първа задача – вълнова оптика

Задачата започва със стряскащо заглавие “Фурие трансформации и филтрация на пространствени честоти”. Но в нито един момент не се очаква от участниците да знаят какво значат тези термини. Темата е как вълновата оптика позволява да се филтрират дадени елементи от изображение.

Задачата може да се раздели на две части. Първа част е с доста сметки. Но съвсем стандартни сметки, доказващи базови свойства на дифракционните решетки.

Само първенката е успяла да спомене нещо относно този закон, при това подозирам, че е имала късмет да го знае наизуст (което всъщност бих очаквал от всички участници)  защото е забравила един много важен множител (в който се крие цялата идея). В защита от тези които биха казали “че това не е физика, това са скучни сметки…” ще отговоря, че решението можеше да се намери с “рисуване на стрелки” и чисто “физически” разсъждения. Това е причината въпросното момиче да получи все пак част от точките, въпреки грешно наизустена формула – дала е обяснението в което се крие красотата на идеята.

И каква е тази идея? Главно как се увеличава спектралната разделителна способност на дифракционна решетка когато се увеличи броя на процепите. Знание за критерия на Релей и за разликата между дифракционна решетка и експеримента на Юнг биха били предостатъчни, за да се досети човек какво е решението. Но май повечето от участниците не са били напълно способни да интерпретират дифракционна картина. Жалко, намирам че такова упражнение доставя голямо интелектуално удоволствие.

Но единственото което е нужно, за да може да се продължи към втората половина е [тук цитирам единствената друга дама от участниците и единствената която е използвала толкова невероятно точно описание на вълновите феномени] “The angular spacing of the features in the diffraction pattern is inversely proportional to the dimensions of the object causing the diffraction. In other words: the smaller the diffraction [grating] is, the wider the resulting diffraction pattern, and vice versa.” Това всъщност е фундаментално и много красиво свойство на фурие трансформациите и от там идва ефекта, който се наблюдава в оптиката (дифракция) и в квантовата механика (неравенството на Хайзенберг).

И сега втората част от моята задача. Дадена е снимка на перо:

credit Wikipedia

И е зададен въпроса: “Какво трябва да се направи, за да се получи образ съдържащ само основните косъмчета, но в който най-дребните “барбули” липсват?”.

След това е показан снимка на стена:

credit Wikipedia

И е зададен въпроса: “Какво трябва да се направи да се премахне дефекта при снимане (вълновата структура в долния десен ъгъл)?”.

Участниците трябва да се сетят какво причинява ефекта и да измислят как да го контрират (погледнете цитата в горния абзац). Никой не е предложил успешен подход (повечето не са предложили никакъв подход). Има само едно интересно предложение включващо дълга тръба и още няколко детайла, но даже то беше прекалено далече от работещо решение.

А щях да съм толкова радостен ако някой беше решил интересната част от моята задача (тъжен Стефо)…

Класиране

За щастие беше лесно да се отделят първите двама (защото само двама биват поканени в Париж):

Точки по първа задача

Точки по втора задача

Общ резултат

Много по интересно е кой е първи:

Година на завършване срещу резултат (повечето хора биха очаквали хиперболична зависимост...)

Една много млада дама. Фактът че е малка беше достатъчно учудване. Но още по-рядко девойки решават да се занимават с физика. Резултатите които е изкарала (първа със забележима преднина) много ме радват. Повече момичета в България трябва да видят този комикс.

Бисери

Естествено че имаше…

Много се чудех дали да ги оставя анонимни. Ще направя следния компромис. Издавам, че някои от бисерите са на първенците:

Принципа на Хайзенберг може да се запише като

Нечестен съм да включвам това, първо защото искахме подобно разсъждение, второ защото всички зайци се очаква да го наизустяват, но интересното че доказателството на това неравенство е различно от доказателството на неравенството на Хайзенберг. Отделно, тъй като това твърдение е наизустено, никой не се опитва да обясни как така от неопределеност отиваме до абсолютна стойност на импулса/енергията/координатата на частица.

Предложено решение на задачата за перцето:

The feather can be taken for diffraction grating with distance between slits 1mm and lenght of the slits also 1mm […] So the only thing we have to do is to light the feather from enough far distance, because the light must be perpendicular to the feather

Започва добре, но след това загубва работещата идея.

Нещо което много хора бъркат:

A diffraction grating is a grating which has very small holes or slits almost comparable to the wavelenght of light [подчертаното е от мен]

The slits are as big as the length of the wave, which passes throught them.

Да видим каква константа ще има една такава решетка. Брой резки на милиметър ще е . Хъм… не е толкова зле колкото си мислех, но и това е прекалено голям брой. Освен това такава решетка ще има друг проблем – дълбочината ѝ (не широчина или дължина) няма да е пренебрежима и лесната заучена формула няма да е вече приложима.

И сега две от любимите ми:

[относно заснетата тухлена стена] Obviously the dark lines are diffraction minima and the light one – maxima. This effect is seen on TV, too, when somebody wears striped clothes. What occurs is diffraction from round hole (from the objective of the camera) and interference from thin films (the different materials of which lenses in a camera are made) […]

Интересното е, че май тези разсъждения дадоха верен числен резултат. За жалост са грешни (въпреки че са оригинални и интересни) и получават нула точки.

И второто, което малко ме стресна (но много би зарадвало Verlinde (погледни увода на втора задача за контекст)):

Forces of entropic origin are all 4 fundamental forces including gravity and electromagnetic forces.

Една интересна аргументация относно втора задача:

According to the theory of Verlinde the force must be gravity [до тук ок]. It can’t be any of the other fundamental three, because all of them depend on the electric charge and this one doesn’t.

Не твърдя че аргументацията е грешна. Със сигурност е много интересна.

И сега нещо което е много грешно. Имате лазер, дифракционна решетка, леща и екран. Какво трябва да направите за да получите хубав образ на екрана.

Със сигурност не следното:

Правилното решение (и разликата е много дълбока и важна):

Май това е всичко. Приятно прекарване в Париж на двамата първенци и поздрави за неотразимия учител Теодосиев от Казанлък, който е обучил толкова талантлива млада дама (първенката).

Участниците да се чувстват свободни да ми пишат по мейл или в коментарите по-долу. Както и всички които искат подробности относно задачите.

Ако някой от участниците се чувства некомфортно от публикуването на бисерите, без притеснение може да ми пише лично съобщение и да помоли да ги сваля. Но не смятам, че има нещо което да причини притеснение. Всички правим грешки, и най-добре се учим от тях (особено ако се смеем).

Отбелязвам, че това е за филиала, в който аз учех. Има още няколко, но ако мислите да учите в Препа (а не на друго място) най-вероятно ще е за да сте в същия филиал.

Филиалът първа година се нарича PCSI (физика, химия и индустриална наука).

Филиалът втора година се нарича PC* (физика, химия и звездичка за трудност).

От името не си личи, но подготовката по математика в този филиал е също толкова сериозна колкото тази по физика.

Тъй като постът стана доста дълъг, тук ще е само програмата по математика. За другите курсове по-късно.

Математика, първа година:

анализ

• лимити (напълно обосновано теоретично, от на Cauchy до края)
• редове
• еквиваленти, малко o, голямо O
• диференциално смятане
• интеграли на Riemann, сума на Riemann
• трите теореми на Тaylor
• параметрични криви
• линейни диференциални уравнения

полиноми

линейна алгебра

• алгебрични структури – пръстени, полета, векторни пространства (върху и , и , върху множества на функции)
• евклидови векторни пространства
• нормирани векторни пространства
• матрично представяне, матрици
• детерминанти
• неравенство на Cauchy-Schwarz и още няколко други
• проектори
• ротации и рефлексии

топология

• непрекъснатост и сходимост в нормирани векторни пространства
• n-кълба, отворени, затворени и компактни части

Математика, втора година:

анализ

• серии
• редове от функции
• серии от функции (pointwise сходимост, нормална сходимост, uniform сходимост, диференциране, интегриране)
• степенни серии (теореми на Abel)
• Fourier серии (теореми на Dirichlet, феномен на Gibbs)
• функции на няколко променливи
• интеграли в няколко измерения
• диференциално смятане в няколко измерения, производни
• криви в равнината (параметризиране и уравнения на крива)
• криви в пространството
• повърхности в пространството
• конични сечения
• квадратни повърхности (квадратни като уравнението, не като квадрат) в пространството

линейна алгебра

• проблеми за собствени стойности
• диагонализиране на ендоморфизми и матрици
• реални евклидови и прехилбертови пространства
• ортогонални ендоморфизми и матрици, и в две и три пространства
• симетрични и антисиметрични ендоморфизми и матрици
• комплексни хермитови и прехилбертови пространства
• нормирани пространства

Имайте предвид, че от един списък не може да се види дали натоварването е голямо или не. За да отговоря на тази неясност: нещата се учат в невероятни подробности и няма една теорема, която остава недоказана.